Resolución ejercicio 4 subitem a de Práctica 7 - Aproximación polinomial de Análisis Matemático 66 UBA XXI Cátedra Palacios Puebla

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Análisis Matemático 66

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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 CBC

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4. Considere la función

f(x)=e^{\operatorname{sen}(x)}

a) Muestre que

P(x)=1+x+\frac{x^{2}}{2}

es el polinomio de Taylor de orden tres alrededor de

x_{0}=0

f

Respuesta

Tenemos la función

f(x) = e^{\sin(x)}

y queremos encontrar el polinomio de Taylor de orden

3

centrado en

x=0

. Sabemos que la estructura del Taylor que estamos buscando va a ser esta:

p(x) = f(0) + f'(0)x + \frac{f''(0)}{2!}x^2 + \frac{f'''(0)}{3!}x^3

Vayamos entonces ahora completando las piezas que nos faltan:

✅

f(0)

f(0) = e^{\sin(0)} = e^{0} = 1

✅

f'(0)

Calculamos primero la derivada de

f

, usamos regla de la cadena:

f'(x) = e^{\sin(x)} \cdot \cos(x)

Evaluamos en

x = 0

f'(0) = e^{\sin(0)} \cdot \cos(0) = e^{0} \cdot 1 = 1

✅

f''(0)

Derivamos una vez más, atenti que hay que usar regla del producto:

f''(x) = e^{\sin(x)} \cdot \cos(x) \cdot \cos(x) + e^{\sin(x)} \cdot (-\sin(x))

f''(x) = e^{\sin(x)} \cdot \cos^2(x) - e^{\sin(x)} \cdot \sin(x)

Reacomodamos un poco sacando factor común (esto nos va a ayudar a que no sea tan cuentosa la próxima derivada)

f''(x) = e^{\sin(x)} \cdot (\cos^2(x) - \sin(x))

Evaluamos en

x=0

f''(0) = 1

✅

f'''(0)

Derivamos una vez más, usamos regla del producto:

f'''(x) = e^{\sin(x)} \cos(x) \cdot (\cos^2(x) - \sin(x)) + e^{\sin(x)} \cdot (-2 \cos(x) \sin(x) -\cos(x))

Evaluamos en

x=0

f'''(0) = 1 - 1 = 0

Por lo tanto, reemplazamos en nuestra respuesta y nos queda:

p(x) = = 1 + x + \frac{x^2}{2}

que es exactamente el polinomio que nos daba el enunciado :)

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