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Análisis Matemático 66
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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 CBC
CÁTEDRA PALACIOS PUEBLA
4.
Considere la función $f(x)=e^{\operatorname{sen}(x)}$.
a) Muestre que $P(x)=1+x+\frac{x^{2}}{2}$ es el polinomio de Taylor de orden tres alrededor de $x_{0}=0$ de $f$.
a) Muestre que $P(x)=1+x+\frac{x^{2}}{2}$ es el polinomio de Taylor de orden tres alrededor de $x_{0}=0$ de $f$.
Respuesta
Tenemos la función $f(x) = e^{\sin(x)}$ y queremos encontrar el polinomio de Taylor de orden $3$ centrado en $x=0$. Sabemos que la estructura del Taylor que estamos buscando va a ser esta:
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\( p(x) = f(0) + f'(0)x + \frac{f''(0)}{2!}x^2 + \frac{f'''(0)}{3!}x^3 \)
Vayamos entonces ahora completando las piezas que nos faltan:
✅ $f(0)$
\( f(0) = e^{\sin(0)} = e^{0} = 1 \)
✅ $f'(0)$
Calculamos primero la derivada de $f$, usamos regla de la cadena:
\( f'(x) = e^{\sin(x)} \cdot \cos(x) \)
Evaluamos en \( x = 0 \):
\( f'(0) = e^{\sin(0)} \cdot \cos(0) = e^{0} \cdot 1 = 1 \)
✅ $f''(0)$
Derivamos una vez más, atenti que hay que usar regla del producto:
\( f''(x) = e^{\sin(x)} \cdot \cos(x) \cdot \cos(x) + e^{\sin(x)} \cdot (-\sin(x)) \)
\( f''(x) = e^{\sin(x)} \cdot \cos^2(x) - e^{\sin(x)} \cdot \sin(x) \)
Reacomodamos un poco sacando factor común (esto nos va a ayudar a que no sea tan cuentosa la próxima derivada)
\( f''(x) = e^{\sin(x)} \cdot (\cos^2(x) - \sin(x)) \)
Evaluamos en $x=0$
\( f''(0) = 1 \)
✅ $f'''(0)$
Derivamos una vez más, usamos regla del producto:
$f'''(x) = e^{\sin(x)} \cos(x) \cdot (\cos^2(x) - \sin(x)) + e^{\sin(x)} \cdot (-2 \cos(x) \sin(x) -\cos(x))$
Evaluamos en $x=0$
$f'''(0) = 1 - 1 = 0$
Por lo tanto, reemplazamos en nuestra respuesta y nos queda:
$p(x) = = 1 + x + \frac{x^2}{2} $
que es exactamente el polinomio que nos daba el enunciado :)